कक्षा 9 · गणित

बहुपद

बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर की घात पूर्ण संख्या होती है। इस अध्याय में बहुपद की घात और प्रकार, शून्यक, शेषफल प्रमेय, गुणनखंड प्रमेय तथा बीजीय सर्वसमिकाएँ शामिल हैं।

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समाधान

प्रश्नावली 2.1

Q1. Exercise 2.1 — Question 1

क्या 4x² − 3x + 7 एक चर का बहुपद है? इसकी घात लिखिए।

4x² − 3x + 7 में केवल एक चर x है, और x की घातें 2, 1, 0 हैं — सभी पूर्ण संख्याएँ। एक चर के बहुपद में एक ही चर और पूर्ण-संख्या घातें होनी चाहिए, अतः यह बहुपद है। x की सबसे बड़ी घात 2 है, और घात यही होती है।

सूत्र: घात = चर की उच्चतम घात

अंतिम उत्तर: हाँ, यह एक चर (x) का बहुपद है और इसकी घात 2 है।

सामान्य गलती: ऋणात्मक या भिन्न घात (जैसे x⁻¹ या √x) वाले व्यंजक को बहुपद कहना।

परीक्षा टिप: हर बार दो बातें जाँचिए: केवल एक चर, और पूर्ण-संख्या घातें।

प्रश्नावली 2.2

Q1. Exercise 2.2 — Question 1

बहुपद p(x) = 5x − 4x² + 3 का मान x = 0 और x = −1 पर ज्ञात कीजिए।

x = 0 पर: p(0) = 5(0) − 4(0)² + 3 = 3 x = −1 पर: p(−1) = 5(−1) − 4(−1)² + 3 = −5 − 4 + 3 = −6

अंतिम उत्तर: p(0) = 3 और p(−1) = −6

सामान्य गलती: (−1)² को −1 लिखना। ऋणात्मक संख्या का वर्ग सदैव धनात्मक होता है।

परीक्षा टिप: मान रखते समय कोष्ठक लगाइए — चिह्न की गलती नहीं होगी।

प्रश्नावली 2.4

Q1. Exercise 2.4 — Question 1

गुणनखंड प्रमेय से जाँचिए कि (x + 1), बहुपद x³ + x² + x + 1 का गुणनखंड है या नहीं।

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x + 1) गुणनखंड तभी है जब p(−1) = 0 हो। p(x) = x³ + x² + x + 1 p(−1) = (−1)³ + (−1)² + (−1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 मान 0 है, अतः (x + 1) बहुपद को पूरा-पूरा विभाजित करता है।

सूत्र: गुणनखंड प्रमेय: (x − a), p(x) का गुणनखंड ⇔ p(a) = 0

अंतिम उत्तर: हाँ — p(−1) = 0, इसलिए (x + 1) गुणनखंड है।

सामान्य गलती: (x + 1) के लिए x = +1 रखना। (x + a) के लिए x = −a रखना चाहिए।

परीक्षा टिप: पहले भाजक का शून्यक लिखिए (x + 1 के लिए −1), फिर रखिए।

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